Projektowanie filtrów cyfrowych Butterwortha i Czebyszewa - str. 2 - FILTR - BUTTERWORTH - CZEBYSZEW - PROJEKTOWANIE FILTÓW - OBWÓD LC - IIR - INFINITE IMPULSE RESPONSE - BIERNE OBWODY LC - UJEMNE SPRZĘŻENIE ZWROTNE
Mouser Electronics Poland   Przedstawicielstwo Handlowe Paweł Rutkowski   Amper.pl sp. z o.o.  

Energetyka, Automatyka przemysłowa, Elektrotechnika

Dodaj firmę Ogłoszenia Poleć znajomemu Dodaj artykuł Newsletter RSS
strona główna BAZA WIEDZY Projektowanie filtrów cyfrowych Butterwortha i Czebyszewa
drukuj stronę
poleć znajomemu

Projektowanie filtrów cyfrowych Butterwortha i Czebyszewa

 

Częstotliwość graniczna filtru

Częstotliwość graniczna inaczej definiowana jest dla filtru Butterwortha i filtru Czebyszewa. W dolnoprzepustowym filtrze Czebyszewa jest to najwyższa częstotliwość, dla której tłumienie filtru nie przekracza założonych zafalowań charakterystyki. Jest to więc dokładnie częstotliwość punktu P na wykresie. Dla filtru Butterwortha natomiast częstotliwość graniczna, to taka, przy której następuje spadek wzmocnienia o 3 dB względem sygnału stałego (o częstotliwości 0). Częstotliwość ta jest większa od fP jeżeli AP jest mniejsze niż 3 dB. Jeżeli tłumienie w punkcie Pwynosi 3 dB, to oczywiście częstotliwość graniczna jest częstotliwością punktu P. Częstotliwość graniczną filtru Butterwortha można określić ze wzoru:

   (5)

Dla filtru przykładowego w wersji Czebyszewa częstotliwość graniczna jest równa fP a więc wynosi 3000 Hz. Dla filtru Butterwortha otrzymamy po podstawieniu do wzoru (5) częstotliwość graniczną równą 3902,27 Hz.

Filtr prototypowy

Po określeniu rzędu i częstotliwości granicznej obliczamy filtr prototypowy, to znaczy taki filtr analogowy którego częstotliwość graniczna wynosi 1 Hz. Transmitancja tego filtru to funkcja operatora różniczkowania s o postaci:

   (6)

Mianowniki transmitancji filtrów prototypowych zostały stablicowane. Postać mianownika dla filtru Butterwortha zależy wyłącznie od rzędu filtru, dla filtru Czebyszewa dodatkowym parametrem jest założone zafalowanie charakterystyki amplitudowej (równe tłumieniu AP). Dla filtru przykładowego odczytujemy z tablic:

filtr Butterwortha

(s2 + 0,765366864s + 1)·(s2 + 1,847759065s + 1)

filtr Czebyszewa

(s2 + 0,62646s + 1,14245)·(s + 0,62646)

Jak widać mianownik transmitancji filtru M(s) jest wielomianem zmiennej s. Miejsca zerowe tego mianownika są zwanebiegunami filtru. Bieguny filtru są liczbami zespolonymi o ujemnej części rzeczywistej (gdyby któryś biegun miał dodatnią część rzeczywistą, to filtr byłby niestabilny). Filtr ma tyle biegunów ile wynosi jego rząd. Filtry o rzędzie parzystym mają bieguny zespolone sprzężone parami. W filtrze o rzędzie nieparzystym jeden biegun jest ujemny rzeczywisty, reszta jest zespolona, sprzężona parami. Bieguny można bardzo prosto obliczyć wyliczając pierwiastki trójmianów w nawiasach. Dla przykładowego filtru Butterwortha otrzymamy dwie pary biegunów zespolonych sprzężonych:

s12 = −0,382683±j0.923880
s34 = −0,923880±j0.382683

Dla filtru Czebyszewa otrzymamy jeden biegun rzeczywisty i parę biegunów zespolonych sprzężonych:

s1 = −0,62646
s23 = −0,31323±j1,021928

Skalowanie częstotliwości i przekształcenie nieliniowe

Jak napisałem wcześniej, filtr prototypowy obliczony jest dla częstotliwości granicznej 1 Hz. Należy teraz przeskalować jego bieguny, tak aby odpowiadały założonej częstotliwości granicznej. Oprócz tego należy dokonać przekształcenia nieliniowego. Polega ono na potraktowaniu przeskalowanej częstotliwości funkcją tangens rozciągniętą w taki sposób, że wartość π na osi x przesuwa się do częstotliwości próbkowania sygnału. Przekształcenie nieliniowe jest elementem transformacji z dziedziny analogowego operatora s (różniczkowanie) do dziedziny cyfrowego operatora z (opóźnienie o 1 takt zegara). Przy projektowaniu filtrów cyfrowych łączy się operację skalowania i przekształcenia nieliniowego w jedną, obliczając współczynnik skalujący W z następującego wzoru:

   (7)

Dla filtru Butterwortha i Czebyszewa współczynnik W liczymy oddzielnie, ponieważ z reguły filtry te mają inne częstotliwości graniczne (chyba, że AP wynosi 3 dB, wtedy obie częstotliwości będą równe). Dla naszego przykładowego filtru Butterwortha fg wynosi 3902,27 Hz, a współczynnik W = 0,570758. Dla filtru Czebyszewa fg = 3000 Hz, W = 0,43405608.

Po obliczeniu współczynnika W transformujemy bieguny filtru prototypowego. Jest to bardzo prosta operacja, dla filtrudolnoprzepustowego po prostu mnożymy W przez biegun. Dla filtru górnoprzepustowego dzielimy W przez biegun. Po przemnożeniu (dla filtru dolnoprzepustowego) otrzymamy następujące bieguny:


Filtr Butterwortha:

s12 = −0,218404±j0,527273
s34 = −0,527273±j0,218404

Filtr Czebyszewa:

s12 = −0,135959±j0,443573
s3 = −0,271917


REKLAMA

Otrzymuj wiadomości z rynku elektrotechniki i informacje o nowościach produktowych bezpośrednio na swój adres e-mail.

Zapisz się
Administratorem danych osobowych jest Media Pakiet Sp. z o.o. z siedzibą w Białymstoku, adres: 15-617 Białystok ul. Nowosielska 50, @: biuro@elektroonline.pl. W Polityce Prywatności Administrator informuje o celu, okresie i podstawach prawnych przetwarzania danych osobowych, a także o prawach jakie przysługują osobom, których przetwarzane dane osobowe dotyczą, podmiotom którym Administrator może powierzyć do przetwarzania dane osobowe, oraz o zasadach zautomatyzowanego przetwarzania danych osobowych.
Komentarze (1)
Dodaj komentarz:  
Twój pseudonim: Zaloguj
Twój komentarz:
dodaj komentarz
No avatar
Elektrotechnika&#...
Bardzo dziękuję za tak jasno napisany schemat postępowania.Wykorzystałem go do projektu z Teorii Obwodów do zaprojektowania Filtru Czebyszewa pierwszego typu.Gorąco polecam tą stronę.Pozdrawiam AUTORA!!!

REKLAMA
REKLAMA
REKLAMA
REKLAMA
Optoelektronicy Optoelektronicy Grupa zrzeszająca osoby, których pasją jest wykorzystanie niesamowitej natury promieniowania optycznego. ...
Automania Automania Grupa zrzeszająca pasjonatów czterech kółek.
Elektroinstalatorzy - instalacje elektryczne Elektroinstalatorzy - ... Forum w którym są poruszane tematy związane z branżą elektroinstalacyjną, osprzętem. Porady, opinie, ...
Oświetlenie LED Oświetlenie LED Grupa zajmująca się tematami związanymi z technologią LED.
REKLAMA
Nasze serwisy:
elektrykapradnietyka.com
przegladelektryczny.pl
rynekelektroniki.pl
automatykairobotyka.pl
budowainfo.pl